Matematikai logika
Azokat az állításokat, amelyekről egyértelműen el lehet dönteni, hogy igazak, vagy hamisak, logikai állításoknak nevezzük.
Ilyen például:
- Ma kedd van.
- A mai menzai ebéd gyros-tál.
- Tavaly informatikából ötösöm volt.
Logikai állításokon értelmezett műveletek (operátorok)
Azokat a logikai állításokat, amelyek a művelet résztvevői, operandusoknak nevezzük.
Például: Süt a nap ÉS jó a kedvem :
Az operátor az ÉS
az operandusok: Süt a nap; Jó a kedvem.
(Excelben: SZUM(A2;10) => operátor: SZUM, operandusok A2 és 10)
Logikai változóknak azokat a változókat nevezzük, melyek csak IGAZ vagy HAMIS értéket vehetnek fel.
ÉS
ÉS (AND) – Logikai állításokon értelmezett ÉS művelet csak akkor igaz, ha minden operandusa igaz. Jele a • vagy a ∧ .
Példa: János bácsi a kertben van, és kapál. Ez a kifejezés csak akkor igaz, ha János bácsi a kertbe van (és nem máshol), és egyidejűleg kapál. Nem igaz, ha János bácsi a szobában kapál, vagy a kertben gereblyézik, de akkor sem, ha a szobában gereblyézik.
Igazságtábla: legyen A és B logikai állítások. Jelöljük 1-gyel az IGAZ, és 0-val a HAMIS értékeket.
| A | B | A•B |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
VAGY
VAGY (OR) – Logikai állításokon értelmezett VAGY művelet csak akkor HAMIS, ha minden operandusa HAMIS. Jele a + vagy a ∨ .
Példa: A fagyizóban ma vanília vagy kávé fagyit eszem. Ez a kifejezés csak akkor hamis, ha sem vanília, sem kávé fagyit nem eszem. Igaz, ha csak vaníliát, igaz, ha csak kávét, és akkor is igaz, ha mindkettőt eszem. (Mert a pisztácia kifogyott, és csokoládé nem is volt…)
Igazságtábla: legyen A és B logikai állítások. Jelöljük 1-gyel az IGAZ, és 0-val a HAMIS értékeket.
| A | B | A+B |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
KIZÁRÓ VAGY
KIZÁRÓ VAGY (eXclusive OR) – Logikai állításokon értelmezett KIZÁRÓ VAGY művelet csak akkor IGAZ, ha pontosan egy operandusa IGAZ. Jele a ⊕ vagy a XOR.
Példa: Ma este moziba, vagy színházba megyek. Ez a kifejezés csak akkor igaz, ha moziba megyek, de színházba nem, vagy színházba megyek, de moziba nem, és hamis, ha mindkét helyre, vagy egyikre sem megyek el).
Igazságtábla: legyen A és B logikai állítások. Jelöljük 1-gyel az IGAZ, és 0-val a HAMIS értékeket.
| A | B | A⊕B |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
NEGÁCIÓ
Negáció (tagadás-NEM) – Egy logikai állítás negáltja csak akkor IGAZ, ha az operandusa HAMIS. Jele a ¬ vagy a felülvonás: A
Példa: Ma NEM felelek informatikából. Ez a kifejezés csak akkor igaz, ha felelek informatikából kifejezés HAMIS. (Persze, mert dolgozatot írok :)).
Igazságtábla: legyen A logikai állítás. Jelöljük 1-gyel az IGAZ, és 0-val a HAMIS értékeket.
| A | ¬A |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
IMPLIKÁCIÓ
IMPLIKÁCIÓ (Következmény) – A és B logikai állítások. A implikálja B-t (A-ból következik B), csak akkor HAMIS, ha A IGAZ, de B HAMIS. Jele a → vagy a ⇒ .
Példa: Ha ötös lesz utolsó TZ-m, akkor ötös leszek infóból. Ez a kifejezés csak akkor hamis, ha az utolsó TZ-d ötös lett, mégsem lettél ötös infóból. Igaz, minden más esetben.
Igazságtábla: legyen A és B logikai állítások. Jelöljük 1-gyel az IGAZ, és 0-val a HAMIS értékeket.
| A | B | A→B |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
EKVIVALENCIA
EKVIVALENCIA (Azonosság) – A és B logikai állítások. A ekvivalens B-vel, ha A implikálja B-t ÉS B implikálja A-t. Jele a ↔ vagy a ≡ .
Példa: Akkor, és csak akkor vagy telekis diák, ha a tanulói jogviszonyod a Teleki Blanka Gimnáziumban van. Vagyis az a két állítás, hogy telekis diák vagy, és tanulói jogviszonyban állsz a gimivel, ekvivalensek.
Igazságtábla: legyen A és B logikai állítások. Jelöljük 1-gyel az IGAZ, és 0-val a HAMIS értékeket.
| A | B | A→B | B→A | A↔B |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Vedd észre, hogy az ekvivalencia művelet csak akkor adott igaz értéket, ha a két állítás ugyanazt az értéket vette fel.